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Time Series

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考法

concept, procedure, logic, data challenge

eg. 什么是平稳过程，为什么

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Type of Analysis

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Exploratory Analysis

  • 画图看数据长什么样

  • Autocorrelation analysis, examine serial dependence

  • Spectral Analysis

  • Decomposition of time series

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Curve Fitting

  • Interpolation (smoothing, regression analysis)

  • Extrapolation

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Function Approximation

  • Known Target Function 知道function长什么样 做近似

  • Curve Fitting

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Prediction, Forecasting and Classification

Spark-TS as a third party package for large scale data

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Signal Detection

Fourier Transformation 对声音降噪

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Segmentation Analysis

区分对话中不同人的对话声

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Definition

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Time Series

A time series model for observed data {xt}\left\{x_{t}\right\} is a specification of the joint distribution of a sequence of random variables {Xt}\left\{X_{t}\right\} of which {xt}\left\{x_{t}\right\} is postulated to be a realization.

  1. Time series研究的是joint distribution，联合概率

  2. Xt是random variable, 一般不知道，可以认为是一种distribution；xt是一次实现，是一个数据

比如观测股价一年的变化，我们有每天的股价数据，那么这就是365个变量，我们在试着求这365个变量的联合分布，但是手上却只有365个data point，每个变量只有一个。

如果是联合概率，完全没有任何限制，有各种情况组合，而我们观测时只看到这些X的一次实现，那这个问题非常复杂。要试着把问题简化，比如，平稳过程，我们认为X1...X5的分布一样，于是就可以用X2的实现推断X1的distribution。不研究X1...X5的联合分布，而是找到一阶expectation value，二阶expectation... 也就是不需要知道distribution，而是通过找到mean和variation分析问题。有时，知道first and second moments就够用。

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Mean Function

Let {Xt}\left\{X_{t}\right\} be a time series with E(Xt2)< inf E\left(X_{t}^{2}\right)<\text { inf }. The mean function of {Xt}\left\{X_{t}\right\} is μX(t)=E(Xt)\mu_{X}(t)=E\left(X_{t}\right) .

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Covariance Function

The covariance function of {Xt}\left\{X_{t}\right\} is (for all integers r and s)

γX(r,s)=Cov⁡(Xr,Xs)=E[(Xr−μX(t))(Xs−μX(s))]\gamma_{X}(r, s)=\operatorname{Cov}\left(X_{r}, X_{s}\right)=E\left[\left(X_{r}-\mu_{X}(t)\right)\left(X_{s}-\mu_{X}(s)\right)\right]

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Stationary Process （weakly stationary）*****

{Xt}\left\{X_{t}\right\}is weakly stationary if

(1) μX(t)\mu_{X}(t) is independent of t (2) γX(t+h,t)\gamma_{X}(t+h, t) is independent of t for each h

Remark 1: strictly stationary is if the joint distribution is independent of t

Remark 2: γX(h)=γX(t+h,t)\gamma_{X}(h)=\gamma_{X}(t+h, t)

mean function is independent of t, and covariance function is independent of t for each h (和起点终点无关，和距离有关）所以x1和x3的covariance和x2与x4的covariance相同，以及variance function和时间也无关。只在乎first and second moment.

Why do we care about 'stationary'?: make a prediction, assume something does not change with time

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Examples

  1. √ i.i.d. noise: with 0 mean and finite variance

  2. √ white noise: uncorrelated random variables, each with zero mean and finite variance 因为uncorrelated意味着只要i≠j，它们的correlation就=0，所以满足了weakly stationary的定义。

    要注意 uncorrelated不意味着independent，就像 x,x2x, x^2 的例子，或者normal & chi square。因为uncorrelated只是线性无关。所以从iid noise可以推出white noise，但是反过来不行。

  3. × Random Walk: St=∑k=0tXiS_{t}=\sum_{k=0}^{t} X_{i} 其中 XiX_{i} 是i.i.d. noise, 0 mean, finite variance. 其中E( StS_{t} )=0 但是！variance var(StS_{t})= (t+1) σ2\sigma^2

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AutoCovariance Function (ACVF)

ACVF:γX(h)\mathrm{ACVF}: \gamma_{X}(h)

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Auto Correlation Function ACF

ρX(h)=γX(h)/γX(0)\rho_{X}(h)=\gamma_{X}(h) / \gamma_{X}(0)

covariance除以variance, 做standardization

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Sample Mean

因为数据 XtX_{t} share同一个 μX(t)\mu_{X}(t) , 所以在平稳过程的条件下，Let x1,….,xnx_{1}, \ldots ., x_{n} be observations of a time series. The sample mean of x1,….,xnx_{1}, \ldots ., x_{n} is X‾=1n∑t=1nXt\overline{\mathbf{X}}=\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} \mathbf{X}_{t}

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Sample ACVF

Sample auto covariance function is γ^(h)=n−1∑t=1n−h(xt+∣h∣−xˉ)(xt−xˉ)\hat{\gamma}(h)=n^{-1} \sum_{t=1}^{n-h}\left(x_{t+|h|}-\bar{x}\right)\left(x_{t}-\bar{x}\right)

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Sample ACF

The sample auto correlation function ρ^(h)=γ^(h)/γ^(0)\hat{\rho}(h)=\hat{\gamma}(h) / \hat{\gamma}(0)

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PACF Partial Autocorrelation Function

αn=cor⁡(Xn−P(Xn∣Xn−1,…,X1),X0−P(X0∣X1,…,Xn−1))\alpha_{n}=\operatorname{cor}\left(X_{n}-P\left(X_{n} | X_{n-1}, \ldots, X_{1}\right), X_{0}-P\left(X_{0} | X_{1}, \ldots, X_{n-1}\right)\right)

residual 之间的correlation。eg. 看10.1和10.10之间的correlation，但是不直接比较这两个，因为这中间隔了很多中间信息。所以partial correlation就是把中间的信息挖了。

拿regression类比， y=β0+β1x2y=\beta_{0}+\beta_{1} x^{2} 和 y=β0+β1x+β2x2y=\beta_{0}+\beta_{1} x+\beta_{2} x^{2} ，后者的最后一项的系数beta2就是挖了beta1的结果。

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General Approach to Time Series Modeling（procedure）

  1. Plot the series and examine the main features of the graph. Check if there is: 也就是Exploratory - Trend - Seasonal Component - Sharp Change in Behavior - Outlying Observation

  2. Remove the trend and seasonal components to get stationary residuals. 获得后先放下，看residual是否还有信息 - Stationary residual: in between iid and seasonal

  3. Choose a model to fit the residuals to make use of various sample statistics including the sample autocorrelation function.

  4. Forecasting is achieved by forecasting the residuals and then inverting the transformation.

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De-trend

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1.Spline Regression (Parametric)

  1. Run a linear regression with time index

  2. Run a polynomial regression with time index 弱点1: non-local, 所以如果在某一个点附近y值有了变化，整个poly就变了 弱点2: 多项式的fit 可能更高项的fit更好，但是却是overfitting 所以针对这样的弱点，弥补方式就是分段 构造k个阶梯函数，找这些阶梯函数的线性组合。

  3. Fit a spline regression 用光滑的曲线，比较没有棱角。（最后还可以用penalized spline regression）

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2.Smoothing (Non-Parametric)

都是nonparametric methods， 是trend estimation的，不是用于model building。

对于这样的一个time series Xt=mt+YtX_{t}=m_{t}+Y_{t} ，假设mt就是trend term

  • Moving Average

m^t=(2q+1)−1∑j=−qqXt−j\hat{m}_{t}=(2 q+1)^{-1} \sum_{j=-q}^{q} X_{t-j}

Assume Mt是linear 大多数情况下，只要每个segment足够小，都可以认为是linear的。

  • Exponential Smoothing

m^t=αXt+(1−α)m^t−1\hat{m}_{t}=\alpha X_{t}+(1-\alpha) \hat{m}_{t-1}

这个只依赖于过去的值，所以可以用于forecasting；另外最佳的alpha的值是需要subjective judgement然后试的。

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3. Differencing

Less parametric, no assumption that the same trend among observation period

∇Xt=Xt−Xt−1=Xt−BXt=(1−B)Xt∇2Xt=(1−B)2Xt=Xt−2Xt−1+Xt−2\begin{array}{l}{\nabla X_{t}=X_{t}-X_{t-1}=X_{t}-B X_{t}=(1-B) X_{t}} \\ {\nabla^{2} X_{t}=(1-B)^{2} X_{t}=X_{t}-2 X_{t-1}+X_{t-2}}\end{array}

其中B是一个operation，‘back’，delta=1-B。这样简写的时候比较方便。

不研究xt，而是研究delta，因为做差之后就消掉了linear trend；如果说有nonlinear trend，但是在足够小的时候可能可以忽略，再或者如果把差值再减一次，二次方也消了；再多次做差，多次项都可以消。

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De-Seasonality

也是做differencing，但是不是和相邻的做，而是根据周期项，峰值减峰值，谷值减谷值。

对于这样的time series Xt=mt+st+YtX_{t}=m_{t}+s_{t}+Y_{t} ，s就是周期项 st=st−ds_{t}=s_{t-d} d就是周期

做differencing， ∇dXt=(1−Bd)Xt=mt−mt−d+∇dYt\nabla_{d} X_{t}=\left(1-B^{d}\right) X_{t}=m_{t}-m_{t-d}+\nabla_{d} Y_{t}

除此之外，也可以试着去和sin或者cosine去拟合，或者把季节直接拿出来。

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Beyond Trend and Seasonality

除了时间序列上的分析之外，也可以去联合其他feature去做regression，因为我们有一项Y，可以是隔壁竞品的价格，可以是股市，可以是温度...

也可以用RNN先把有时间的部分先解释了，然后剩下的stationary的部分再用时间序列模型继续分析。如何知道Time Series是Stationary的

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Method 1：visualization

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Method 2：split，calculation

把time series的数据分成几份，每份上都算mean, variance, auto correlation. 接着对比. 虽然并不是充分条件，但却是快速的检验方法。

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Method 3：Hypothesis Testing

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AD Test (Augmented Dickey Fuller Test)

H0: 需要验证的是non-stationary; 所以p很小的时候reject null hypothesis, 然后认为它是stationary。

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KPSS Test

H0: 需要验证的是stationary; 所以p很小的时候reject null hypothesis, 认为它是non-stationary

如果不仅发现是stationary，还发现了是white noise (uncorrelated)，那应该就是到此为止，没有其他可以做的了。

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Role of ACF

Auto-correlation function 到底有怎样的作用？

假设一些time series data，它的mean是c，那么这个时候best predictor of X 就是c

假设有n个data，已知其中某一个数据的值（比如x3=4)，那么最好的predictor是 E[Xn+h∣Xn=xn]E\left[X_{n+h} | X_{n}=x_{n}\right] 。

如果是一个gaussian分布，这个条件概率就是 Xn+h∣Xn=xn∼N(μ+ρ(h)(xn−μ),σ2(1−ρ(h)2))X_{n+h} | X_{n}=x_{n} \sim N\left(\mu+\rho(h)\left(x_{n}-\mu\right), \sigma^{2}\left(1-\rho(h)^{2}\right)\right) 。这个公式可以make sense, 因为如果我们知道它是100%correlated，那么variance=0；如果我们知道它是uncorrelated，那么今天发生的事和过去没有关系，因为expectation是xn。那么这个时候的best predictor是 E[Xn+h∣Xn=xn]=μ+ρ(h)(xn−μ)E\left[X_{n+h} | X_{n}=x_{n}\right]=\mu+\rho(h)\left(x_{n}-\mu\right) 。从公式来看，它和之前的平均、今天的数据、过去和今天之间的关系有关。

但是如果不是高斯分布，我们就试着找best linear predictor. aXn+ba X_{n}+b 形式上和Gaussian的best predictor一样。

总之，ACF很显式的对于prediction起了很重要的作用。

面试考公式，PhD考推导

如果获得的数据不只是一天的，还是一系列之前的，那么best linear predictor 就是 PnXn+h=a0+a1Xn+a2Xn−1+…+anX1P_{n} X_{n+h}=a_{0}+a_{1} X_{n}+a_{2} X_{n-1}+\ldots+a_{n} X_{1} ，这里的系数a都是ACF

现在的做法是non-paramatric，但是如果有model了，就能more stable，因为多次结果降低了方差。 原来的思路是 数据算ACF，然后算best predictor，这可能算了n多个parameter； 如果有了（正确的）model，那么就是先从数据算model的系数，比如MA里面的theta1，然后有了Xt之后算rho，因为rho是theta1的function，再回来算ACF。 这里也有个tradeoff 因为model会有bias，但是它会降低variance； 而不使用model，没有bias，但是variance更大。

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Classical Time Series Model

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First-order Autoregression ( AR(1) Process)

当phi的绝对值小于1时构造出来的AR1 Process是stationary process（但在某些其他情况下也有可能stationary）

Xt=φXt−1+Zt, where {Zt} is WN with variance σ2 and ∣φ∣<1X_{t}=\varphi X_{t-1}+Z_{t}, \text { where }\left\{Z_{t}\right\} \text { is WN with variance } \sigma^{2} \text { and }|\varphi|<1

起始时x0=z0

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AR(p) AutoRegressive process of order P

φ(B)Xt=Zt and φ(B)=1−φ1B−φ2B2−…−φpBp\varphi(B) X_{t}=Z_{t} \text { and } \varphi(B)=1-\varphi_{1} B-\varphi_{2} B^{2}-\ldots-\varphi_{p} B^{p}
从PACF知道AR是几阶的

Note: the bounds are +/- 1.96/sqrt(n)

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First-order moving average or MA(1) Process

Xt=Zt+θ1Zt−1ρ1=θ11+θ12, and ρh=0 for h≥2{X_{t}=Z_{t}+\theta_{1} Z_{t-1}} \\ {\rho_{1}=\frac{\theta_{1}}{1+\theta_{1}^{2}}, \text { and } \rho_{h}=0 \text { for } h \geq 2}

其中 ZtZ_{t} 是white noise，theta是一个常数 。

Var(a⋅x)=a2Var⁡(x)\begin{aligned} & Var(a \cdot x)=a^{2} \operatorname{Var}(x) \end{aligned} ， Cov(a⋅x，a⋅y)=aCov(x,y)\begin{aligned} & Cov(a \cdot x，a\cdot y)=a {Cov}(x,y) \end{aligned}

Mean Function是0, variance function是 (1+θ12)σ2\left(1+\theta_{1}^{2}\right) \sigma^{2} ，当距离相差1时，covariance是 θ1σ2\theta_{1}\sigma^{2} ，当距离相差大的时候，covariance是0. 所以这些都和时间无关，只和距离有关， 所以这也是stationary process。

correlation function，距离相差1时covariance= θ1σ2\theta_{1}\sigma^{2} ，再除以variance，做standardization，得到 ρ\rho . 距离大于1时是0.

如果把correlation function画成图，横轴的lag是上面公示的h，纵轴是correlation。

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MA(q) Moving average with order q

Xt=θ(B)Zt and θ(B)=1+θ1B+θ2B2+…+θqBqX_{t}=\theta(B) Z_{t} \text { and } \theta(B)=1+\theta_{1} B+\theta_{2} B^{2}+\ldots+\theta_{q} B^{q}

下图是一个 Xt=Zt+θ1Zt−1X_{t}=Z_{t}+\theta_{1} Z_{t-1}

从ACF能知道是几阶的，但是PACF就没用

这里需要注意PACF里lag=2时不是0了。intuition是

 Independent but conditionally dependent  Let’s say you flip two fair coins  A-Your first coin flip is heads  B- Your second coin flip is heads  C- Your first two flips were the same  A and B here are independent. However, A and B are conditionally dependent given C,  since if you know C then your first coin flip will inform the other one. \begin{array}{l}{\text { Independent but conditionally dependent }} \\ {\text { Let's say you flip two fair coins }} \\ {\text { A-Your first coin flip is heads }} \\ {\text { B- Your second coin flip is heads }} \\ {\text { C- Your first two flips were the same }} \\ {\text { A and B here are independent. However, A and B are conditionally dependent given C, }} \\ {\text { since if you know C then your first coin flip will inform the other one. }}\end{array}

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ARMA(p,q) Process

φ(B)Xt=θ(B)Zt\varphi(B) X_{t}=\theta(B) Z_{t}

比如一个ARMA(1,1) Xt=φ1Xt−1+Zt+θ1Zt−1X_{t}=\varphi_{1} X_{t-1}+Z_{t}+\theta_{1} Z_{t-1}

这里不能从图直接知道几阶了

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ARIMA(p,d,q) process

φ(B)(1−B)dXt=θ(B)Zt\varphi(B)(1-B)^{d} X_{t}=\theta(B) Z_{t}

Rule 1: if a series has positive autocorrelations out to a high number of lags, then it probably needs a higher order of differencing (如果一大堆positive 再differencing）

Rule 2：if the lag-1 autocorrelation is zero or negative, or the autocorrelations are all small and patternless, then the series does not need a higher order of differencing. If the lag-1 autocorrelation is -0.5 or more negative, the series may be over-differenced.

以上都是rule of thumb，但是实际操作时 看情况。

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Model Estimation

简直太多了...

  • Preliminary Estimation

  • Yule-Walker Estimation

  • Burg's Algorithm

  • The Innovation Algorithm

  • The Hannan-Rissanen Algorithm

  • Maximum Likelihood Estimation

Q: 能用OLS计算AR(1)的系数吗？

Least Square/Regression在这里不满足，因为不满足assumption：如果要regression，需要观测之间互相independent

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Model Diagnostics

  • Check the significance of the coefficients

  • Check the ACF of residuals. (should be non-significant)

  • *Check the Box-Pierce (Ljungarrow-up-right) tests for possible residual autocorrelation at various lags

  • Check if the variance is non-constant (use ARCH or GARCH model)

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More than 1 Model looks OK

  • Choose the one with fewest parameters

  • Pick lowest standard error

  • AIC, BIC, MSE to compare models

自学列表：

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ARIMA

Moving Average

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其他

这个系列文，从头看到尾

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时间序列中距离的计算方法

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时间序列统计特征，时间序列的熵特征，时间序列的分段特征

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时间序列聚类的，《Robust and Rapid Clustering of KPIs for Large-Scale Anomaly Detection》；另外一篇文章是关于时间序列异常检测的，重点检测时间序列上下平移的，《Robust and Rapid Adaption for Concept Drift in Software System Anomaly Detection》。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/50698719zhuanlan.zhihu.comchevron-right

时间序列聚类

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趋势分析

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