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description: 最短路径
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# Graph Search BFS 2

找最短路径时，如果edge weight都是1，那么用BFS1就可以；如果edge weight不是1，用BFS2. Best First Search, Dijkstra's Algorithm。Dijkstra's Algorithm 找最短距离的**限制条件**是边的权重必须是正数。它不是点到一个点的算法，而是从出发点到所有点的最短路径的算法，而“两点间的距离”只是其中一个子产品。

和BFS1的区别是，BFS1把neighbor放在了FIFO的queue，而BFS2把每个点的最短距离放在了priority queue (min heap)。

generate的顺序不需要规定，expand才会控制min path

lazy deletion 如果删除或修改比较难，那么暂时先不改，先把新的照样放，直到不得不删除时删除。所以在generate一样的数时，完全可以把新的直接加进去，不管旧的。

1. 一个Node只被expand一次
2. 一个可以被generated多次 每次generate的路径递减
3. 所有expand的node都是单调non-decreasing
4. 棋盘格的 O(4logn\*n) = nlogn 一般的O(ElogV)
5. Termination Condition 可以是
   * 它要求的截止(when a conflict is found)
   * 找到了要求的node (target node is expanded, or kth element s expanded)
   * queue空了

### kth smallest in 2D matrix

initial state: 从最小值开始，(0,0)\
expansion/generation rule: \
\- expand input\[i]\[j] generate比它大的最小                        pop\
\-- generate input\[i]\[j+1]                                                         insert\
\-- generate input\[j+1]\[i]                               \
termination condition:\
\- when the k-th element is expanded \
deduplication:\
\- only generate each element once, can use a boolean array visited\[]\[]; Extra Space O(n^2)\
\- or use a Hash Table; Extra Space O(k)

Time: while loop k 轮，每轮净增1个（因为是出一个进两个），所以logk (heap operation, pop )\
